Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Избранные задачи геометрической теории функций и теории потенциала


В. Н. Дубинин, Д. Б. Карп, В. А. Шлык

2008, выпуск 1, С. 46–95


Аннотация
Статья представляет собой краткий обзор основных результатов по геометрической теории функций, а также смежным проблемам специальных функций и теории потенциала, полученных в лаборатории математического анализа Института прикладной математики ДВО РАН за последние семнадцать лет.

Ключевые слова:
модули семейств кривых, приведенные модули, емкости конденсаторов, симметризация, поляризация, диссимметризация, аналитические функции, теоремы искажения, экстремальные разбиения, функция Робена, логарифмическая емкость, полиномы, рациональные функции, обобщенная гипергеометрическая функция, функция Аппелля

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Е. Г. Ахмедзянова, “Симметризация относительно гиперсферы”, Дальневост. мат. сб., 1995, № 1, 40–50.
[2] А. К. Бахтин, “Экстремальные задачи со свободными полюсами на окружности”, Допов. НАН Украiни, 5 (2005), 7–10.
[3] А. К. Бахтин, А. Л. Таргонский, “Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на лучах”, Допов. НАН Украiни, 7 (2004), 7–13.
[4] Ю. М. Березанский, Ю. Г. Кондратьев, Спектральные методы в бесконечномерном анализе, Наукова Думка, Киев, 1988.
[5] Г. М. Голузин, “Некоторые теоремы покрытия в теории аналитических функций”, Матем. сб., 22:3 (1948), 353–372.
[6] Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменого, Наука, М., 1966.
[7] А. С. Гуляев, В. А. Шлык, “О канонических отображениях на круговые области с радиальными разрезами”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 337, 2006, 35–50.
[8] И. Н. Демшин, Ю. В. Дымченко, В. А. Шлык, “Критерии нуль-множеств для весовых соболевских пространств”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 276, 2001, 52–82.
[9] И. Н. Демшин, В. А. Шлык, “Критерии устранимых множеств для весовых пространств гармонических функций”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 286, 2002, 62–73.
[10] Дж. Дженкинс, Однолистные функции и конформные отображения, ИЛ, М., 1962.
[11] К. Дочев, “О некоторых экстремальных свойствах многочленов”, Докл. АН СССР, 153:3 (1963), 519–521.
[12] В. Н. Дубинин, “Преобразования конденсаторов в $n$-мерном пространстве”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 196, 1991, 41–60.
[13] В. Н. Дубинин, “Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного”, Успехи матем. наук, 49:1 (1994), 3–76.
[14] В. Н. Дубинин, “Принцип мажорации для $p$-листных функций”, Матем. заметки, 65:4 (1999), 533–541.
[15] В. Н. Дубинин, “Конформные отображения и неравенства для алгебраических полиномов”, Алгебра и анализ, 13:5 (2001), 16–43.
[16] В. Н. Дубинин, “О применении конформных отображений в неравенствах для рациональных функций”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:2 (2002), 67–80.
[17] В. Н. Дубинин, “К неравенству Шварца на границе для регулярных в круге функций”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 286, 2002, 74–84.
[18] В. Н. Дубинин, “Обобщенные конденсаторы и асимптотика их емкостей при вырождении некоторых пластин”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 302, 2003, 38–51.
[19] В. Н. Дубинин, Емкости конденсаторов в геометрической теории функций, Из-во Дальневост. ун-та, Владивосток, 2003.
[20] В. Н. Дубинин, “Лемма Шварца и оценки коэффициентов для регулярных функций со свободной областью определения”, Матем. сборник, 196:11 (2005), 53–74.
[21] В. Н. Дубинин, “Неравенства для критических значений полиномов”, Матем. сборник, 197:8 (2006), 63–72.
[22] В. Н. Дубинин, “Лемниската и неравенства для логарифмической емкости континуума”, Матем. заметки, 80:1 (2006), 33–37.
[23] В. Н. Дубинин, “Емкости конденсаторов, обобщения лемм Гретша и симметризация”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 337, 2006, 73–100.
[24] В. Н. Дубинин, “О применении леммы Шварца к неравенствам для целых функций с ограничениями на нули”, Зап. научн. семин. ПОМИ, 337, 2006, 101–112.
[25] В. Н. Дубинин, Е. Г. Ахмедзянова, “Радиальные преобразования множеств и неравенства для трансфинитного диаметра”, Изв. вузов. Математика, 1999, № 4, 3–8.
[26] В. Н. Дубинин, С. И. Калмыков, “Принцип мажорации для мероморфных функций”, Матем. сборник, 198:12 (2007), 37–46.
[27] В. Н. Дубинин, В. Ю. Ким, “О покрытии радиальных отрезков при $p$-листных отображениях круга и кольца”, Дальневост. матем. журнал, 7:1-2 (2007), 40–47.
[28] В. Н. Дубинин, Л. В. Ковалев, “Приведенный модуль комплексной сферы”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 254, 1998, 76–94.
[29] В. Н. Дубинин, Е. В. Костюченко, “Экстремальные задачи теории функций, связанные с $n$-кратной симметрией”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 276, 2001, 83–111.
[30] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, “Об экстремальном разбиении пространственных областей”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 254, 1998, 95–107.
[31] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, “К теоремам единственности для преобразований множеств и конденсаторов на плоскости”, Дальневост. матем. журнал, 3:2 (2002), 135–147.
[32] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, “О сохранении обобщенного приведенного модуля при геометрических преобразованиях плоских областей”, Дальневост. матем. журнал, 6:1-2 (2005), 39–56.
[33] В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина, “О вариационных принципах конформных отображений”, Алгебра и анализ, 18:3 (2006), 39–62.
[34] Ю. В. Дымченко, “Равенство емкости и модуля конденсатора на поверхности”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 276, 2001, 112–133.
[35] Л. В. Ковалев, “О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей”, Известия вузов. Математика, 2000, № 6, 80–81.
[36] Л. В. Ковалев, “Оценки конформного радиуса и теоремы искажения для однолистных функций”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 263, 2000, 141–156.
[37] Л. В. Ковалев, “Монотонность обобщенного приведенного модуля”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 276, 2001, 219–236.
[38] Е. В. Костюченко, “Решение одной задачи об экстремальном разбиении”, Дальневост. матем. журн., 2:1 (2001), 3–15.
[39] Г. В. Кузьмина, “Методы геометрической теории функций I, II”, Алгебра и анализ, 9:3 (1997), 41–103; 5, 1–50.
[40] П. П. Куфарев, “К вопросу о конформных отображениях дополнительных областей”, Докл. АН СССР, 73:5 (1950), 881–884.
[41] М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, М., 1973.
[42] А. Л. Лукашов, “Неравенства для производных рациональных функций на нескольких отрезках”, Изв. РАН. Сер. мат., 68:3 (2004), 115–138.
[43] А. Л. Лукашов, “Оценки производных рациональных функций и четвертая задача Золотарева”, Алгебра и анализ, 19:2 (2007), 122–130.
[44] И. И. Ляшко, И. М. Великоиваненко, В. И. Лаврик, Г. Е. Мистецкий, Метод мажорантных областей в теории фильтрации, Наукова думка, Киев, 1974.
[45] И. П. Митюк, Симметризационные методы и их приложение в геометрической теории функций. Введение в симметризационные методы, Из-во Кубанского ун-та, Краснодар, 1980.
[46] А. В. Олесов, “О приложении конформных отображений к неравенствам для тригонометрических полиномов”, Матем. заметки, 76:3 (2004), 396–408.
[47] А. В. Олесов, “Неравенства для мажорантных аналитических функций”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 314, 2004, 155–173.
[48] А. В. Олесов, “Неравенства для целых функций конечной степени и полиномов”, Зап. научных семинаров ПОМИ, 314, 2004, 174–195.
[49] Г. Полиа, Г. Сеге, Изопериметрические неравенства в математической физике, М., 1962.
[50] В. Н. Русак, Рациональные функции как аппарат приближения, Минск, 1979.
[51] Г. Сеге, Ортогональные многочлены, ГИФМЛ, М., 1962.
[52] А. Ю. Солынин, “Изопериметрические неравенства для многоугольников и диссимметризация”, Алгебра и анализ, 4:2 (1992), 210–234.
[53] А. Ю. Солынин, “Поляризация и функциональные неравенства”, Алгебра и анализ, 8:6 (1996), 148–185.
[54] А. Ю. Солынин, “Модули и экстремально-метрические проблемы”, Алгебра и анализ, 11:1 (1999), 3–86.
[55] П. М. Тамразов, “Емкости конденсаторов. Метод перемешивания зарядов”, Матем. сборник, 115:1 (1981), 40–73.
[56] В. А. Шлык, “О равенстве $p$-емкости и $p$-модуля”, Сиб. матем. журнал, 34:6 (1993), 216–221.
[57] В. А. Шлык, “Весовые емкости, модули конденсаторов и исключительные множества по Фюгледе”, Докл. РАН, 332:4 (1993), 428–431.
[58] G. D. Anderson, R. W. Barnard, K. C. Richards, M. K. Vamanamurthy, M. Vourinen, “Inequalities for zero-balanced hypergeometric functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), 1713–1723.
[59] A. Baernstein, “A unified approach to symmetrization”, Partial Differential Equations of Elliptic Type, Symposia Math., 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994, 47–91.
[60] A. Baernstein, “The ${}^?$-function in complex analysis”, Handbook of complex analysis: Geometric function theory, 1, Elsevier, Amsterdam, 2002, 229–271.
[61] C. Bandle, M. Flucher, “Harmonic radius and concentration of energy, hyperbolic radius and Liouville's equations $\Delta U=e^U$ and $\Delta U=U^{(n+2)/(n?2)}$”, SIAM Review, 38:2 (1996), 191–238.
[62] R. W. Barnard, A. Yu. Solynin, “Local variations and minimal area problem for Carathe odory functions”, Indiana Univ. Math. J., 53 (2004), 135–168.
[63] R. W. Barnard, K. Richardson, A. Yu. Solynin, “Concentration of area in half-planes”, Proc. Amer. Math. Soc., 133 (2005), 2091–2099.
[64] K. F. Barth, D. A. Brannan, W. K. Hayman, “Research problems in complex analysis”, Bull. London Math. Soc., 16:5 (1984), 490–517.
[65] A. F. Beardon, D. Minda, T. W. Ng, “Smale's mean value conjecture and the hyperbolic metric”, Math. Ann., 322:4 (2002), 623–632.
[66] D. Betsakos, “Polarization, conformal invariants, and Brownian motion”, Ann. Acad. Sci. Fen. Math., 23 (1998), 59–82.
[67] P. Borwein, T. Erdelyi, Polynomials and polynomial inequatities, Grad. Texts in Math., 161, Springer-Verlag, New York, 1995.
[68] D.-W. Byun, “Inversions of Hermite Semigroup”, Proc. Amer. Math. Soc., 118:2 (1993), 437–445.
[69] B. C. Carlson, J. L. Gustafson, “Asymptotic expansion of the first elliptic integral”, SIAM J. Math. Anal., 16:5 (1985), 1072–1092.
[70] B. C. Carlson, “Some inequalities for hypergeometric functions”, Proc. of Amer. Math. Soc., 17:1 (1966), 32–39.
[71] V. N. Dubinin, “Capacities and geometric transformations of subsets in n-space”, Geometric and Functional Analysis, 3:4 (1993), 342–369.
[72] V. N. Dubinin, D. B. Karp, “Generalized condensers and distortion theorems for conformal mappings of planar domains”, The Interaction of Analysis and Geometry, 424, eds. V. I. Burenkov, T. Iwaniec, and S. K. Vodopyanov, AMS Contemporary Mathematics, 2007, 33–51.
[73] P. Duren, “Robin capacity”, Computational methods and Function Theory (CMFT'97), eds. N. Papamichael, St. Ruscheweyh, E. B. Saff, World scientific Publishing Co., 1999, 177–190.
[74] P. Duren, M. Schiffer, “Robin functions and energy functionals of multiply connected domains”, Pacific J. Math., 148 (1991), 251–273.
[75] P. Duren, M. M. Schiffer, “Robin functions and distortion of capacity under conformal mapping”, Complex Variables, 21 (1993), 189–196.
[76] C. Ferreira, J. L. Lopez, “Asymptotic Expansions of the Appell's Function $F_1$”, Q. Appl. Math., 62:2 (2004), 235–257.
[77] D. Gaier, W. Hayman, “On the computation of modules of long quadrilaterals”, Constr. Approx., 7 (1991), 453–467.
[78] W. K. Hayman, Multivalent functions, Second ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1994.
[79] D. Karp, A. Savenkova, S. M. Sitnik, “Series expansions for the third incomplete elliptic integral via partial fraction decompositions”, J. of Comput. and Appl. Math., 207 (2007), 331–337.
[80] D. Karp, S. M. Sitnik, “Asymptotic approximations for the first incomplete elliptic integral near logarithmic singularity”, J. of Comput. and Appl. Math., 205 (2007), 186–206.
[81] D. Karp, “An approximation for zero–balanced Appell function $F_1$ near $(?1,1)$”, J. Math. Anal. Appl., 339 (2008), 1332–1341.
[82] D. Karp, “Hypergeometric reproducing kernels and analytic continuation from a half-line”, J. of Integral Transforms and Special Functions, 14:6 (2003), 485–498.
[83] D. Karp, “Holomorphic spaces related to orthogonal polynomials and analytic continuation of functions”, Analytic Extension Formulas and their Applications, eds. S. Saitoh, N. Hayashi and M. Yamamoto, Kluwer Academic Publishers, 2001, 169–188.
[84] D. Karp, “Square summability with geometric weight for classical orthogonal expansions”, Advances in Analysis, Proceedings of the 4th International ISAAC Conference, eds. H. G. W. Begehr et al, World Scientific, Singapore – NewJersey – London, 2005, 407–421.
[85] D. Karp, S. M. Sitnik, “Inequalities and monotonicity of ratios for generalized hypergeometric function”, RGMIA Research Report Collection, 10:2 (2007), Article 7.
[86] S. Kirsch, “Transfinite diameter, Chebyshev constant and capacities”, Handbook of complex analysis: Geometric function theory, 2, Elsevier, Amsterdam, 2005, 243–308.
[87] Y. L. Luke, “Inequalities for generalized hypergeometric functions”, J. Approximation Theory, 5 (1972), 41–65.
[88] Y. L. Luke, “Inequalities for generalized hypergeometric functions of two variables”, J. Approximation Theory, 11 (1974), 73–84.
[89] P. R. Mercer, “Sharpened versions of the Schwarz Lemma”, J. Math. Anal. Appl., 205 (1997), 508–511.
[90] S. Nasyrov, “Robin capacity and lift of infinitely thin airfoils”, Complex Variables, 47:2 (2002), 93–107.
[91] M. Ohtsuka, Extremal length and precise functions, Math. Sci. and Appl., 19, Tokio, 2003.
[92] R. Osserman, “A sharp Schwarz inequality on the boundary”, Proc. Amer. Math. Soc., 128:12 (2000), 3513–3517.
[93] Ch. Pommerenke, Boundary behaviour of conformal maps, Springer, Berlin, 1992.
[94] Q. I. Rahman, G. Schmeisser, Analytic theory of polynomials, London Math. Soc. Monographs, New Series, 26, Clarendon Press, Oxford, 2002.
[95] J. Sarvas, “Symmetrization of condensers in $n$-space”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math., 522 (1972), 1–44.
[96] S. Smale, “The fundamental theorem of algebra and complexity theory”, Bull. Amer. Math. Soc., 4:1 (1981), 1–36.
[97] G. Szego, Jahresber, Dtsch. Math. Ver., 31, 1922, 42 pp. (Aufgabe 2).
[98] A. Vasil'ev, Moduli of families of curves for conformal and quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 1788, Springer, 2002.
[99] M. Vuorinen, Conformal geometry and quasiregular mappings, Lecture Notes in Math., 1319, Springer, 1988.
[100] V. Wolontis, “Properties of conformal invariants”, Amer. J. Math., 74:3 (1952), 587–606.

К содержанию выпуска