Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Геометрические аспекты теории несовместных деформаций простых структурно неоднородных тел переменного материального состава


С.А. Лычев, К.Г. Койфман

2017, выпуск 2, С. 221-245


Аннотация
Настоящая статья посвящена формализации мер деформаций в неевклидовых пространствах для простого тела. Привлечение положений неевклидовой геометрии позволяет: i) определить глобальную единообразную отсчетную форму для тел со структурной неоднородностью, вызванной послойным созданием тела в ходе аддитивного процесса; ii) определить глобальную актуальную форму для тел в неевклидовом физическом пространстве, в частности, двумерных объектов на материальных поверхностях. В работе сформулированы соотношения для мер деформаций, порождаемых вложениями риманова многообразия, формализующего простое тело, в риманово многообразие, формализующее пространство. Предложен способ описания деформируемого тела переменного материального состава как семейства римановых многообразий, над которым определены операции разбиения и соединения, характеризующие структурные особенности неоднородностей, задаваемых сценарием аддитивного технологического процесса. Рассмотрены случаи дискретной и непрерывной структурной неоднородности. Предложена процедура синтезирования материальной метрики по семейству локальных конфигураций. Определен оператор вложения. С его помощью устанавливается взаимосвязь классического градиента деформации и касательного отображения, определенного над гладким многообразием, представляющим форму тела. На примере структурно неоднородного цилиндра из несжимаемого материала показаны особенности предлагаемого подхода к описанию несовместных деформаций.

Ключевые слова: несовместные деформации, меры деформаций, остаточные напряжения, материальное многообразие, неевклидова геометрия

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Кадомцев С.Б., Геометрия Лобачевского и физика, Изд.стереотип., URSS, М., 2015.
[2] Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж., Гравитация, Т.1–3, Мир, М., 1977.
[3] Epstein M., The geometrical language of continuum mechanics, Cambridge University Press, 2010.
[4] Marsden J.E., Hughes T.J., Mathematical foundations of elasticity, Courier Corporation, 1994.
[5] Frankel T., The geometry of physics: an introduction, Cambridge University Press, 2003.
[6] Lychev S., Koifman K., “Geometric aspects of the theory of incompatible deformations. Part I. Uniform configurations”, Nanomechanics Science and Technology: An International Journal, 7:3, (2016), 177–233.
[7] Maugin G.A., Material inhomogeneities in elasticity, CRC Press, 1993.
[8] Лычев С.А., Манжиров А.В., “Математическая теория растущих тел. Конечные деформации”, ПММ, 77, (2013), 585–604.
[9] Yavari A., “A geometric theory of growth mechanics”, Journal of Nonlinear Science, 20:6, (2010), 781–830.
[10] Maugin G.A., Configurational Forces: Thermomechanics, Physics, Mathematics, and Numerics, CRC Press, 2010.
[11] Ciarletta P., Destrade M., Gower A.L., Taffetani M., “Morphology of residually stressed tubular tissues: Beyond the elastic multiplicative decomposition”, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 90, (2016), 242–253.
[12] Гузев М.А., Мясников В.П., “Неевклидова структура поля внутренних напряжений сплошной среды”, Дальневост. матем. журн., 2:2, (2001), 29–44.
[13] Гузев М.А., Шепелов М.А., “Пороговое поведение механических характеристик в неевклидовой модели сплошной среды”, Дальневост. матем. журн., 10:1, (2010), 20–30.
[14] Choquet-Bruhat Y., General relativity and the Einstein equations, Oxford University Press, 2008.
[15] Yavari A., Goriely A., “Riemann–Cartan geometry of nonlinear disclination mechanics”, Mathematics and Mechanics of Solids, 2012, 1081286511436137.
[16] Yavari A., Goriely A., “Weyl geometry and the nonlinear mechanics of distributed point defects”, Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 468:2148, (2012), 3902–3922.
[17] Yavari A., Marsden J.E., Ortiz M., “On spatial and material covariant balance laws in elasticity”, Journal of Mathematical Physics, 47:4, (2006), 042903.
[18] Yavari A., Ozakin A., “Covariance in linearized elasticity”, Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik, 59:6, (2008), 1081–1110.
[19] Youssef N.L., Sid-Ahmed A.M., “Linear connections and curvature tensors in the geometry of parallelizable manifolds”, Reports on mathematical physics, 60:1, (2007), 39–53.
[20] Гузев М.А., “Спектральные характеристики поля самоуравновешенных напряжений”, Дальневост. матем. журн., 14:1, (2014), 41–47.
[21] Truesdell C., Noll W., The non-linear field theories of mechanics, ed. Stuart S. Antman, Springer Berlin Heidelberg, 2004.
[22] Xu Ma, Gonzalo R. Arce., Computational lithography, Wiley VCH Verlag GmbH, 2010.
[23] Multilayer thin films, eds. Gero Decher, Joe B. Schlenoff, Wiley VCH Verlag GmbH, 2012.
[24] Mechanical self-assembly, ed. Xi Chen, Springer Nature, 2013.
[25] Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т.Н. Фоменко, Введение в топологию, 2-е изд., доп., Наука. Физматлит, М., 1995, 416 с.
[26] Бурбаки Н., Теория множеств, Мир, М., 1965, 456 с.
[27] Lee J.M., Introduction to topological manifolds, Springer, New York, 2011.
[28] Lee J.M., Introduction to smooth manifolds, Springer New York, 2012.
[29] Schield R.T., “Inverse deformation results in finite elasticity”, Zeitschrift f’ur angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 18:4, (1967), 490–500.
[30] Chadwick P., “Applications of an energy-momentum tensor in non-linear elastostatics”, Journal of Elasticity, 5:3-4, (1975), 249–258.
[31] Noll W., “Materially uniform simple bodies with inhomogeneities”, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 27:1, (1967), 1–32.
[32] Шварц Л., Анализ, Том 1, Мир, М., 1972, 824 с.
[33] Лурье А.И., Нелинейная теория упругости, Наука, М., 1980, 512 с.
[34] Michal A.D., “Matrix and tensor calculus with applications to mechanics, elasticity and aeronautics”, 1947.
[35] Lychev S.A., “Geometric aspects of the theory of incompatible deformations in growing solids”, Advanced Structured Materials, Springer International Publishing, 2017, 327–347 pp.
[36] Choy K., “Chemical vapour deposition of coatings”, Progress in materials science, 48:2, (2003), 57–170.
[37] Gibson Ian, Rosen David W., Stucker Brent et al., Additive manufacturing technologies, Springer, 2010.
[38] Nastasi M.A., Mayer J.W., Ion implantation and synthesis of materials, 80, Springer, 2006.
[39] Лычев С.А., Марк А.В., “Осесимметричное наращивание полого гиперупругого цилиндра”, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 14, (2014), 209–226.
[40] Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошной среды, Мир, М., 1975, 592 с.
[41] Манжиров А.В., Лычев С.А., “Математическая теория растущих тел”, Актуальные проблемы механики. 50 лет Институту проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Наука, М., 2015.
[42] Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T., Manifolds, tensor analysis, and applications, 75, Springer Science & Business Media, 1988.

К содержанию выпуска