Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Конечно-разностные методы решения нелокальной краевой задачи для многомерного параболического уравнения с граничными условиями интегрального вида


З. В. Бештокова

2022, выпуск 1, С. 3-27
DOI: https://doi.org/10.47910/FEMJ202201


Аннотация
В статье рассматривается нелокальная краевая задача для многомерного параболического уравнения с граничными условиями интегрального вида. Для решения задачи получена априорная оценка в дифференциальной форме, откуда следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным на слое в $L_2$-норме. Для численного решения нелокальной краевой задачи строится локально-одномерная (экономичная) разностная схема А. А. Самарского с порядком аппроксимации $O(h^2+\tau)$, основная идея которой состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению ряда одномерных задач по каждому из координатных направлений. Методом энергетических неравенств получены априорные оценки, откуда следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения локально-одномерной разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи в $L_2$-норме со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы. Построен алгоритм численного решения.

Ключевые слова: параболическое уравнение, нелокальное условие, разностные схемы, локально-одномерная схема, априорная оценка, устойчивость, сходимость, многомерная задача

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] А. М. Нахушев, “ Уравнения математической биологии” , М.: Высшая школа, 1995.
[2] T. Carleman, “Sur la theorie des equations integrates et ses applications”, Verh. Internat. Math. Kongr., 1 (1932), 138–151.
[3] J. R. Canon, “The solution of the heat equation subject to the speci?cation of energy”, Quart. Appl. Math., 21:2 (1963), 155–160.
[4] Л. А. Камынин, “Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:6 (1964), 1006–1024.
[5] А. Ф. Чудновский, “Некоторые коррективы в постановке и решении задач тепло- и влагопереноса в почве” , Сб. трудов АФИ, 23 (1969), 41–54.
[6] В. А. Стеклов, “Основные задачи математической физики”, М.: Наука, 1983.
[7] J. Douglas, H. H. Rachford, “On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables”, Trans. Amer. Math. Soc., 82:2 (1956), 421–439.
[8] D. W. Peaceman, H. H. Rachford, “The numerical solution of parabolic and elliptic di?erential equations”, J. Industr. Math. Soc., 3:1 (1955), 28–41.
[9] Н. Н. Яненко, “Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики”, Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967.
[10] А. А. Самарский, “Об одном экономичном разностном методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2:5 (1962), 787–811.
[11] А. А. Самарский, “Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 3:2 (1963), 266–298.
[12] Г. И. Марчук, “Методы расщепления”, М.: Наука, 1988.
[13] Е. Г. Дьяконов, “Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2:4 (1962), 549–568.
[14] Н. И. Ионкин, “Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями” , Дифференц. ур-ния., 13:2 (1977), 294–304.
[15] А. И. Кожанов, “Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера”, Дифференц. ур-ния., 40:6 (2004), 763–774.
[16] Л. С. Пулькина, “О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения”, Дифференц. ур-ния., 36:2 (2000), 279–280.
[17] А. И. Кожанов, Л. С. Пулькина, “О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений”, Дифференц. ур-ния., 426:9 (2006), 1166–1179.
[18] О. Ю. Данилкина, “Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности с интегральным условием”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 1:14 (2007), 5–9.
[19] В. А. Водахова, З. Х. Гучаева, “Нелокальная задача для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками”, Усп. Соврем. Естеств., 7 (2014), 90–92.
[20] M. KH. Beshtokov, V. A. Vodakhova, “Nonlocal boundary value problems for a fractional order convection–diffusion equation”, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp’yuternye Nauki, 29:4 (2019), 459–482.
[21] M. KH. Beshtokov, M. Z. Khudalov, “Diference methods of the solution of local and non-local boundary value problems for loaded equation of thermal conductivity of fractional order”, Stability, Control and Diferential Games, Springer Nature, 2020.
[22] А. К. Баззаев, Д. К. Гутнова, М. Х. Шхануков-Лафишев, “Локально-одномерная схема для параболического уравнения с нелокальным условием” , Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:6 (2012), 1048-1057.
[23] З. В. Бештокова, М. М. Лафишева, М. Х. Шхануков-Лафишев, “Локально-одномерные разностные схемы для параболических уравнений в средах, обладающих памятью”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:9 (2018), 1531–1542.
[24] З. В. Бештокова, “ Локально-одномерная разностная схема для решения одной нелокальной краевой задачи для параболического уравнения в многомерной области”, Дифференц. ур-ния., 56:3 (2020), 366–379.
[25] O. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973.
[26] А. А. Самарский, Теория разностных схем, Наука, М., 1983.
[27] В. Б. Андреев, “О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 8:6 (1968), 1218-1231.
[28] А. А. Самарский, А. В. Гулин, Устойчивость разностных схем, Наука, М., 1973.
[29] Д. К. Фадеев, В. Н. Фадеева, Вычислительные методы линейной алгебры., Физматгиз, М., 1960.

К содержанию выпуска