Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


К теоремам единственности для преобразований множеств и конденсаторов на плоскости


В. Н. Дубинин, Е. Г. Прилепкина

2002, выпуск 2, С. 137–149


Аннотация
Рассматриваются сжимающее отображение компактов и разделяющее преобразование множеств и конденсаторов на комплексной плоскости. Первое из этих преобразований хорошо известно специалистам по теории функций и теории потенциала. Второе преобразование введено ранее первым автором и нашло применение при решении классических задач теории функции комплексного переменного. В настоящей работе доказано необходимое и достаточное условие, в случае которого логарифмическая емкость компакта не изменяется при сжимающем отображении, а также получены условия, при которых в принципах симметризации для разделяющего преобразования конденсаторов и областей выполняется знак равенства. В качестве приложений устанавливается единственность экстремального компакта в известных оценках логарифмической емкости и единственность экстремальной конфигурации в одной задаче об экстремальном разбиении комплексной сферы. Результаты статьи дополняют теоремы единственности Дженкинса, Митюка И.П., Шлыка В.А. и других математиков, полученные ранее для различных видов симметризационных преобразований.

Ключевые слова:

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] V. N. Dubinin, Capacities and geometric transformations of subsets in n-space, Geometric and Functional Analysis, 3:4 (1993), 342–369.
[2] A. II Baernstein, A unified approach to symmetrization, Partial differential equations of elliptic type, Proceedings of the conference (Cortona, 1992), Cambridge Univ. Press, 1994, 77–91.
[3] В. Н. Дубинин, Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного, Успехи математических наук, 49:1 (1994), 3–76.
[4] J. A. Jenkins, Some uniqueness rezults in the theory of symmetrization, Ann. math., 75:2 (1962), 223–230.
[5] В. К. Хейман, Многолистные функции, Ин. лит., М., 1960.
[6] M. Ohtsuka, Dirichlet problem, extremal length and prime ends, New-York, 1970.
[7] И. П. Митюк, Симметризационные методы и их применение в геометрической теории функций, Введение в симметризационные методы, Кубанский госуниверситет, Краснодар, 1980.
[8] В. А. Шлык, О теореме единственности для симметризации произвольных конденсаторов, Сиб. матем. журнал, 1982, № 2, 165–175.
[9] И. П. Митюк, Теорема единостi при симметризацii $S^{(1)}_?$, Доп. АН УРСР, 1970, № 9, 778–779.
[10] И. П. Митюк, В. А. Шлык, О спирально-усредняющей симметризации и некоторых ее применениях, Изв. Северо-Кавказского науч. центра высш. школы, 1973, № 4, 61–64.
[11] И. П. Митюк, Теоремы единственности при симметризации областей и конденсаторов, Некотор. вопр. соврем. теории функций, Новосибирск, 1976, 101–108.
[12] A. Baernstein, Integral means, univalent functions and circular symmetrization, Acta Math., 133:3-4 (1974), 139–169.
[13] А. Ю. Солынин, Поляризация и функциональные неравенства, Алгебра и анализ, 8:6 (1996), 148–185.
[14] Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенциала, Наука, М., 1966.
[15] T. Ransford, Potential theory in the complex plane, Cambridge Univ. Press., 1995.
[16] Е. Г. Ахмедзянова, Теорема единственности для радиального преобразования замкнутых множеств, Препринт № 4 ИПМ ДВО РАН., 1998.
[17] Л. В. Ковалев, Монотонность обобщенного приведенного модуля, Зап.научн. семин. ПОМИ, 276, 2001, 219–236.
[18] Е. Г. Ахмедзянова, В. Н. Дубинин, Радиальные преобразования множеств и неравенства для трансфинитного диаметра, Известия вузов. Математика, 1999, № 4, 3–8.

К содержанию выпуска