Дальневосточный математический журнал

К содержанию выпуска


Оптимальное управление в некорректно поставленной задаче для системы Стокса


В. А. Анненков

2003, выпуск 1, С. 18–26


Аннотация
В работе рассматривается экстремальная задача для системы Стокса в области $\Omega$, граница которой состоит из двух гладких непересекающихся частей: $\partial \Omega = \Gamma_0 \cup \Gamma_1$, $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$. В качестве управляющих параметров выступают одновременно скорость и вектор напряжений на участке границы $\Gamma_0$. Таким образом, состояние системы описывается некорректно поставленной задачей. Необходимые априорные оценки выводятся за счет экстремального условия на участке границы $\Gamma_1$. Вводится задача со штрафом и изучается сходимость штрафной задачи к исходной при стремлении параметра штрафа $\varepsilon$ к нулю.
Данная техника была развита в работах Ж.-Л. Лионса. Приложением представленного результата может являться возможность вывода условий, характеризующих оптимальные управления — состояния.

Ключевые слова: система Стокса, оптимальное управление, некорректно поставленная задача.

Полный текст статьи (файл PDF)

Библиографический список

[1] Ж.-Л. Лионс, Управление сингулярными распределенными системами, Наука, М., 1987.
[2] М. М. Лаврентьев, Л. Я. Савельев, Линейные операторы и некорректные задачи, Наука, М., 1991.
[3] Ж.-Л. Лионс, Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, Мир, М., 1972.
[4] F. Abergel, Non-well Posed Problem in Convex Optimal Control, Applied Mathematics and Optimization, 1988.
[5] M. D. Gunzburger, L. S. Hou, T. P. Svobodny, Analysis and finite element approximation of optimal control problems for the stationary Navier-Stokes equations with Dirichlet conditions, Math. Modelling Numer. Anal., 25 (1991), 711–748.
[6] M. D. Gunzburger, L. S. Hou, T. P. Svobodny, Boundary velocity control of incompressible flow with application to viscous drag reduction, SIAM J. Control Optim., 30:1 (1992), 167–182.
[7] Gilles Fourestey, Marwan Moubachir, Optimal control of Navier-Stokes equations using Lagrange-Galerkin methods, Rapport de recherche, 4609, October (2002), 88 pp., {http://www.iam.dvo.ru:8100/Redirect/www.inria.fr/rrrt/rr-4609.html}.
[8] В. А. Анненков, Обобщенные решения краевой задачи для системы Стокса с заданным вектором напряжений, Дальневосточный математический сборник, 8, 1999, 23–31.
[9] Г. В. Алексеев, В. В. Малыкин, Численное исследование стационарных экстремальных задач для двумерных уравнений вязкой жидкости, Вычислительные технологии, 2:5 (1993), 5–16.
[10] Р. Темам, Уравнения Навье – Стокса. Теория и численный анализ, Мир, М., 1981.
[11] О. А. Ладыженская, Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Наука, М., 1970.
[12] А. Ю. Чеботарев, Задачи граничного оптимального управления стационарными течениями вязкой жидкости, Препринт ИПМ ДВО РАН, Владивосток, 1992, 31 с.

К содержанию выпуска