Far Eastern Mathematical Journal

To content of the issue


The Dirichlet problem for a class of composite type equations with a discontinuous coefficient of the highest derivative


Kîzhanov A. I., Potapova S. V.

2014, issue 1, Ñ. 48-65


Abstract
This paper investigates the solvability of the Dirichlet problem in classes of regular or almost regular solutions of composite type equations with a discontinuous alternating in sign coefficient. The existence and uniqueness theorems are proved by regularization and continuation methods.

Keywords:
composite type equations with a discontinuous coefficient, regular solvability

Download the article (PDF-file)

References

[1] G. V. Demidenko, S. V. Uspenskii, Uravneniia i sistemy, ne razreshennye otnositel'no starshei proizvodnoi, Nauchnaia kniga, Novosibirsk, 1998.
[2] A. G. Sveshnikov, A. B. Al'shin, N. D. Korpusov, Iu.D. Piatner, Lineinye i nelineinye uravneniia sobolevskogo tipa, Fizmatlit, M., 2007.
[3] A. I. Kozhanov, “Composite Type Equations and Inverse Problems”, Utrecht, the Netherlands, VSP, 1999.
[4] S. V. Potapova, “Boundary value problems for pseudohyperbolic equations with a variable time direction”, TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics, 3:1 (2012), 75-91.
[5] O. A. Ladyzhenskaia, “O reshenii obshchei zadachi difraktsii”, DAN SSSR, 93 (1954), 433–436.
[6] O. A. Oleinik, “Ob odnom metode resheniia obshchei zadachi difraktsii”, DAN SSSR, 1960, 1054–1057.
[7] A. G. Sveshnikov, A. B. Al'shin, N. D. Korpusov, Iu.D. Piatner, Lineinye i nelineinye uravneniia sobolevskogo tipa, Fizmatlit, M., 2007.
[8] O. A. Ladyzhenskaia, V. A. Solonnikov, N. N. Ural'tseva, Lineinye i kvazilineinye uravneniia parabolicheskogo tipa, Nauka, M., 1967.
[9] S. A. Tersenov, Vvedenie v teoriiu uravnenii parabolicheskogo tipa s meniaiushchimsia napravleniem vremeni, Sib. otd–nie AN SSSR. In–t matematiki, Novosibirsk, 1982.
[10] I. E. Egorov, S. G. Piatkov, S. V. Popov, Neklassicheskie differentsial'no–operatornye uravneniia, Nauka, Novosibirsk, 2000.
[11] M. M. Smirnov, Uravneniia smeshannogo tipa, Nauka, M., 1970.
[12] T. D. Dzhuraev, Kraevye zadachi dlia uravneniia smeshannogo i smeshanno-sostavnogo tipov, FAN, Tashkent, 1986.
[13] E. I. Moiseev, Uravneniia smeshannogo tipa so spektral'nym parametrom, MGU, Moskva, 1988.
[14] A. P. Soldatov, “Zadacha tipa Dirikhle dlia uravneniia Lavrent'eva-Bitsadze. I. Teoremy edinstvennosti. II. Teoremy sushchestvovaniia”, Dokl. RAN, 332, 333:6, 1 (1993), 696–698, 16–18.
[15] K. B. Sabitov, “Zadacha Dirikhle dlia uravnenii smeshannogo tipa v priamougol'noi oblasti”, Dokl. RAN, 413:1 (2007), 23–26.
[16] M. M. Khachev, Pervaia kraevaia zadacha dlia lineinogo uravneniia smeshannogo tipa, El'brus, Nal'chik, 1998.
[17] O. I. Marichev, A. A. Kilbas, O. A. Repin, Kraevye zadachi dlia uravnenii s chastnymi proizvodnymi s razryvnymi koeffitsientami, Samarskii gosudarstvennyi ekonomicheskii universitet, Samara, 2008.
[18] O. A. Ladyzhenskaia, L. Stupialis, “Ob uravneniiakh smeshannogo tipa”, Vestnik LGU, 1967, ¹19, 38–46.
[19] O. A. Ladyzhenskaia, L. Stupialis, “Kraevye zadachi dlia uravnenii smeshannogo tipa”, Trudy MIAN SSSR, 116:19 (1971), 101–136.
[20] L. Stupialis, “Kraevye zadachi dlia elliptiko-giperbolicheskikh uravnenii”, Trudy MIAN SSSR, 125 (1973), 211–229.
[21] V. A. Il'in, P. V. Luferenko, “Smeshannye zadachi, opisyvaiushchie prodol'nye kolebaniia sterzhnia, sostoiashchego iz dvukh uchastkov, imeiushchie raznye plotnosti i raznye uprugosti, no odinakovye impedansy”, Dokl. RAN, 428:1 (2009), 12–15.
[22] V. A. Il'in, P. V. Luferenko, “Obobshchennye resheniia smeshannykh zadach dlia razryvnogo smeshannogo uravneniia pri uslovii ravenstva impedansov”, Dokl. RAN, 429:3 (2009), 317–321.
[23] V. A. Il'in, “Optimizatsiia proizvodimogo smeshcheniem granichnogo upravleniia kolebaniiami sterzhnia, sostoiashchego iz dvukh raznorodnykh uchastkov”, Differentsial'nye uravneniia, 47:7 (2011), 978–986.
[24] A. M. Rogozhnikov, “Issledovanie smeshannoi zadachi, opisyvaiushchei protsess kolebanii sterzhnia, sostoiashchego iz neskol'kikh uchastkov, pri uslovii sovpadeniia vremeni prokhozhdeniia volny po kazhdomu iz etikh uchastkov”, Dokl. RAN, 441:4 (2011), 449–451.
[25] A. A. Kuleshov, “Smeshannye zadachi dlia uravneniia prodol'nykh kolebanii neodnorodnogo sterzhnia so svobodnym libo zakreplennym pravym kontsom, sostoiashchego iz dvukh uchastkov raznoi plotnosti i uprugosti”, Dokl. RAN, 442:4 (2012), 451–454.
[26] A. M. Rogozhnikov, “Issledovanie smeshannoi zadachi, opisyvaiushchei protsess kolebanii sterzhnia, sostoiashchego iz neskol'kikh uchastkov s proizvol'nymi dlinami”, Dokl. RAN, 444:5 (2012), 488–491.
[27] E. I. Moiseev, E. I. Likhomanenko, “Ob odnoi nelokal'noi zadache dlia uravneniia Lavrent'eva-Bitsadze”, Dokl. RAN, 446:3 (2012), 256–258.
[28] V. A. Trenogin, Funktsional'nyi analiz, Nauka, M., 1980.
[29] S. Ia. Iakubov, Lineinye differentsial'no-operatornye uravneniia i ikh prilozheniia, Elm., Baku, 1985.
[30] O. A. Ladyzhenskaia, “Prostoe dokazatel'stvo razreshimosti osnovnykh kraevykh zadach i zadachi o sobstvennykh znacheniiakh dlia lineinykh ellipticheskikh uravnenii”, Vestnik LGU, 1955, ¹11, 23–29.

To content of the issue