Научная деятельность

Отчеты о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН

За 2010 год
За 2009 год
За 2008 год
За 2007 год

ОТЧЕТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2010 год

1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2010 году в ХО ИПМ ДВО РАН.

Доказано новое арифметическое тождество, которое в двух частных случаях превращается в тождества Лиувилля и Скоруппы. (ИПМ ДВО РАН, Быковский В.А.)

Впервые вычислена плотность распределения нормированных чисел Фробениуса от трех аргументов. (ИПМ ДВО РАН, Устинов А.В.)

2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2010 году в ИПМ ДВО РАН.

Изучено поведение константы C(s) при s→∞, которая возникает при оценке количества относительных минимумов s-мерных целочисленных решеток через логарифм в степени s-1 от величины определителя решетки. (Авдеева М.О., Быковский В.А. // Математические заметки. 2010, 87:4, С. 483 - 491.)

Для средней длины алгоритма Евклида с нечетными неполными частными доказаны асимптотические формулы, аналогичные тем, которые были известны для классического алгоритма Евклида. (Устинов А.В. // Математические заметки. 2010, 88:4, С. 594 - 604.)

Доказана теорема, подобная теореме Хинчина (случай сходимости), для совместных диофантовых приближений нуля знаменателями многочленов в поле действительных, комплексных и р-адических чисел. (Budarina Natalia, Dickinson Detta, Bernik Vasili // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 2010, 149:2, РP. 193 - 216.)

Построена теория представлений абсолютно и равномерно сходящимися билинейными рядами бесконечно дифференцируемых ядер несамосопряженных, некомпактных биинтегральных операторов в неограниченных областях, которая существенно расширяет классические теоремы Мерсера и Кадоты. (Новицкий И.М. // International Electronic Journal of Pure and Applied Mathematics (IEJPAM). 2010, 2:1, PP. 43 - 73.)

Найдена мера и размерность Хаусдорфа множества совместно ψ-аппроксимируемых точек, лежащих на полиномиальных кривых, для достаточно малой функции аппроксимации ψ. (Бударина Н.В. // Lithuanian Mathematical Journal. 2010, 50:2, PP. 140 - 163.)

Рассмотрены примитивные представления целочисленных квадратичных форм и построен алгоритм, определяющий условия, достаточные для почти универсальности квадратичной формы от 4-х и более переменных. Этот результат является первым аналогом Теоремы 15 для примитивных представлений квадратичных форм. (Бударина Н.В. // Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics. 2010, 56:1, PP. 77 - 85.), (Бударина Н.В. // Материалы VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. 2010, С. 54 - 57.)

Предложена новая реконструкция доказательства Феодора иррациональности некоторых чисел, опирающаяся на перевод Т.В. Васильевой, которая подтверждает предположение А.А. Тахо-Годи. (Быковский В.А. // Дальневосточный математический журнал. 2010, 10:1, С. 3 - 8.)

Получены асимптотические формулы для среднего числа относительных минимумов и вершин многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток фиксированного определителя. Они обобщают известный результат Хейльбронна о средней длине конечной цепной дроби на двумерный случай.
(Илларионов А.А. // Сб. «Наука - Хабаровскому краю: материалы XII краевого конкурса молодых ученых», Хабаровск, Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та. 2010. С. 5 - 15.)
(Илларионов А.А. // Владивосток: Дальнаука. 2009, 32 с. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 05))
(Илларионов А.А. // Владивосток: Дальнаука. 2010, 29 с. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 02))

Предложен конструктивный способ отыскания в терминах ядра точечной и непрерывной частей характеристического множества произвольного самосопряженного карлемановского интегрального оператора. (Новицкий И.М. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. С. 129 - 135.)

Получены двусторонние оценки для средних значений количества относительных минимумов и k-мерных граней полиэдров Клейна целочисленных решеток фиксированного определителя. Оценки совпадают с точностью до констант, зависящих только от размерности решеток. (Слинкин Д.А. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2010. С. 151 - 154.)

В двумерном случае найдено распределение векторов приведенных базисов, описана плотность распределения кратчайших векторов в целочисленных решетках и плотность распределения длины второго базисного вектора. (Устинов А.В. // Geometry, Topology, Algebra and Number Theory, Applications. // The International Conference dedicated to the 120th anniversary of Boris Nikolaevich Delone (1890 - 1980). Abstracts. Moscow. August 16 - 20, 2010. C. 143.)

Для двумерных целочисленных решеток найдено достаточное условие равенства параметра оптимальности Бахвалова и его дискретного эллиптического варианта. (Авдеева М.О. // Материалы VII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2010. С. 20 - 21.)

Получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению в $L_2$ - норме для задачи типа Стокса с криволинейным интерфейсом. (Рукавишников А.В. // XXXV Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова, 31 авг. - 5 сент. 2010 г., Владивосток: сб. докл. [Электронный ресурс]. - Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. 2010, С. 435 - 351.)

Рассмотрена задача, полученная в результате дискретизации по времени задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. Построен приближенный метод решения исходной задачи, и получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению задачи в специальных нормах. (Рукавишников А.В. // Владивосток: Дальнаука. 2010, 25 с. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отделение Института прикладной математики; № 01))

ОТЧЕТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2009 год

1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2009 году в ХО ИПМ ДВО РАН.

Решена задача Синая о статистических свойствах траекторий частиц в двумерной кристаллической решетке. При этом найдена совместная плотность распределения трех параметров: длины свободного пробега, входного и выходного прицельного параметров (расстояний от траектории до начального и конечного узлов). (Быковский В.А., Устинов А.В. // Известия РАН. Серия математическая. 2009, 73:4. С. 17-36.)

Решена задача Арнольда существования слабой асимптотики для чисел Фробениуса с тремя аргументами. В качестве следствия доказана гипотеза Дейвисона о среднем значении нормированных чисел Фробениуса с тремя аргументами. При этом установлено, что для троек взаимно простых в совокупности чисел (a, b, c) числа Фробениуса ведут себя как $8\pi^{-1}(abc)^{1/2}$. (Устинов А.В. // Математический сборник. 2009, 200:4. С. 131-160.)

Доказано, что утверждение леммы Хопфа не обобщается на случай произвольных соленоидальных вектор-функций и получено полное описание множества функций на которые это утверждение распространяется. Речь идет об известной открытой проблеме математической гидродинамики, связанной с существованием стационарных решений уравнений Навье-Стокса при наличии внутренних источников и стоков. В этом направлении также доказано существование решения двумерных стационарных уравнений Навье-Стокса с заданным на границе полным напором, тангенциальной составляющей вектора скорости, фиксированными внутренними источниками и стоками при любых числах Рейнольдса и выполнении условий симметрии относительной некоторой прямой. (Илларионов А.А. // Сиб. матем. журн. 2009, 50:4. С. 831-835. Илларионов А.А. // Дифференц. Уравнения. 2009, 45:8. С. 1116-1125.)

2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2009 году в ИПМ ДВО РАН.

Получено полное решение задачи Дж. фон Неймана (1935) о приведении линейных операторов к интегральному виду в новой постановке, когда от ядра приведенного оператора требуется бесконечная дифференцируемость и равномерное стремление к нулю на бесконечности любой его частной и любой его сильной производных. Результаты применены для улучшения аналитических свойств ядер в общих линейных интегральных уравнениях. (Novitskii I.M. // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009, 54:3. P. 359-374. Novitskii I.M. // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. 56:2. P. 265-280.)

Доказано существование предельного распределения для нормированных чисел Фробениуса от трех аргументов. При решении получены новые статистические свойства элементов цепных дробей. (Shchur V., Sinai Ya., Ustinov A. // Journal of Number Theory. 2009, 129:11. Р. 2778-2789.)

Получены новые результаты о среднем числе шагов в алгоритме Евклида с выбором наименьшего по модулю остатка. (Устинов А.В. // Математические заметки. 2009, 85:1. С.153 - 156.)

Найдены совместные плотности распределения элементов цепных дробей, связанных с распределением чисел Фробениуса от трех аргументов. (Устинов А.В. // Доклады Академии Наук. 2009, 424:4. С. 459-461.)

Для классов периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в $\ell_p$-норме получена правильная в степенной шкале двусторонняя оценка оптимальной погрешности квадратурных формул при всех $p\in(1,2)$. Этот результат дополняет результат В.Ф. Льва для случая, когда $p\in[2,\infty]$. (Романов М.А. // Математические заметки. 2009, 85:3. С. 433-439.)

В категории модулей, на которых справа действует полная модулярная группа, построены аналоги пространств модулярных форм Эйхлера-Шимуры (модули Эйхлера - Шимуры), включая теорию операторов Гекке. Доказана бесконечномерность подпространства Эйхлера-Шимуры. (Быковский В.А. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 29-37. Быковский В.А. // Тезисы докладов XXXIV ДВМШ "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук. 2009, С. 14-16.)

Получена асимптотическая формула для среднего значения количества минимумов целочисленных полных решеток относительно ограниченной, замкнутой, выпуклой области на плоскости, содержащей некоторую окрестность точки начала координат и симметричной относительно координатных осей. (Горкуша О.А. // Тезисы докладов XXXIV ДВМШ "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук. 2009, С. 18-20.)

Получены арифметические формулы следа Сельберга и дзета-функций Сельберга для конгруэнц-подгруппы, явное выражение для чисел классов примитивных гиперболических элементов конгруэнц-подгруппы уровня $N$ через числа классов примитивных элементов конгруэнц-подгруппы уровня $N_1=N/p^i, (N,N_1)=1$ и точная оценка сверху чисел классов по уровню $N$. (Головчанский В.В., Смотров М.М. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 48-73.)

Предложена программа для обобщения результата Колывагина о группах Тейта-Шафаревича эллиптических кривых на случай, связанной с мотивами когомологий многообразий Шимуры высоких размерностей и модулярных многообразий Дринфельда. (Логачев Д.Ю. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 105-130.)

Изучено распределение длин отрезков между точками целочисленной решетки внутри расширяющегося квадрата. В качестве следствия получено предельное распределение для углов между лучами, выходящими из начала координат в примитивные узлы целочисленной решетки. (Устинов А.В. // Дальневосточный математический журнал. 2009, 9:1-2. С. 176 - 181.)

Получена нетривиальная оценка дисперсии суммы неполных частных, ограниченных некоторой величиной, возникающих при разложении в цепную дробь рационального числа с фиксированным знаменателем. В качестве следствия получен закон больших чисел для суммы всех неполных частных. (Рукавишникова М.Г. // Препринт № 01 // ХО ИПМ ДВО РАН. 2009, 16 с.)

Для задачи Стокса с разрывным коэффициентом вязкости применен метод декомпозиции области в сочетании с аппроксимацией задачи на подобластях при помощи неконформных конечных элементов. Для полученной системы линейных уравнений построен итерационный метод с блочным переобуславливанием матрицы системы. Создан комплекс программ на ЭВМ для решения задачи Стокса с прямолинейным интерфейсом между подобластями. (Рукавишников А.В. // Вычислительные технологии. 2009. 14:2. С. 110-123.)

Рассмотрена задача, полученная в результате дискретизации по времени задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с непрерывно изменяющимся во времени интерфейсом. Построен неконформный метод конечных элементов задачи и получена оценка скорости сходимости сеточного решения к точному решению задачи в специальных нормах. (Рукавишников А.В. // Препринт № 02 // ХО ИПМ ДВО РАН. 2009, 40 с. Рукавишников А.В. // Тез. докл. XXXIV ДВМШ им. Ак. Е.В. Золотова "Фундаментальные проблемы математики и информационных наук". 2009. С. 114-116.)

ОТЧЕТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2008 год

1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2008 году в ХО ИПМ ДВО РАН.

Доказан асимптотический закон распределения простых чисел среди значений знаменателей непрерывных дробей почти всех вещественных чисел. (Быковский В.А. // Известия РАН. Серия математическая. 2008, 72:2. С. 65-82.)

Получены принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах для первого и второго моментов числа шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А.В. // Известия РАН. Серия математическая. 2008. 72:5. С. 189-224.)

2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2008 году в ИПМ ДВО РАН.

В задаче Синая о статистических свойствах траекторий частиц, движущихся в двумерной кристаллической решетке, исследован однородный (траектория начинается в начале координат) случай. Найдена плотность совместного распределения длины свободного пробега и прицельного параметра (расстояния от траектории до центра первой пересеченной окрестности). В остаточном члене асимптотической формулы для плотности получено корневое понижение. (Быковский В.А., Устинов А.В. // Функциональный анализ и его приложения. 2008, 42:3, С. 10-22.)

Для конгруэнц-подгруппы $\Gamma_0(N)$ получена явная формула количества примитивных гиперболических элементов данной нормы через числа классов неопределенных квадратичных форм. (Головчанский В.В., Смотров М.Н. // Математический сборник. 2008. Т. 199. № 7. С. 63-84.)

Получена правильная с точностью до константы, зависящей от размерности и ранга, оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток произвольного ранга (Илларионов А.А. // ДАН. 2008. Т. 418, № 2; Наука - Хабаровскому краю. Материалы X краевого конкурса молодых ученых. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2008. С. 65-75).

Получены новые оценки сумм Клостермана и новая оценка остаточного члена в задаче о числе решений сравнения $xy\equiv0(\mod q)$ под графиком дважды непрерывно дифференцируемой функции. В качестве приложения доказано обобщение результата Портера о средней длине алгоритма Евклида на случай статистик Гаусса-Кузьмина и уточнен остаточный член в соответствующей асимптотической формуле. (Устинов А.В. // Алгебра и анализ. Т. 20 (2008). № 5. С. 186-216.)

Рассмотрена переопределенная краевая задача для систем Стокса и Навье-Стокса, в которой на части границы области задается вектор напряжений и конечное число нелокальных условий. Доказано существование устойчивого решения в линейном случае и локальная разрешимость - в нелинейном. (Илларионов А.А. // Журн. выч. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 6. С. 1056-1061)

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости некоторых экстремальных задач для уравнения Пуассона и системы Стокса с некоэрцитивным целевым функционалом в пространстве Соболева H1. (Илларионов А.А. // Дальневосточный матем. журн. 2008. Т. 8. № 2. С. 24-30.).

Произведён сравнительный анализ итерационных методов для одной задачи механики сплошной среды с использованием графической интерпретации. (Бабенко В.С., Рукавишников А.В. // Ученые записки Дальневосточного государственного университета путей сообщения. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС. 2008. Т.2. С. 14-18.)

Определена новая вариационная постановка задачи течения двухфазной вязкой жидкости без перемешивания, в формулировке несжимаемых уравнений Навье-Стокса с непрерывно изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. (Рукавишников А.В. // Математическое моделирование. 2008. 20:3. С. 3-8.)

ОТЧЕТ
о научной деятельности Хабаровского отделения
Института прикладной математики ДВО РАН
за 2007 год

1. Важнейшие результаты исследований из числа основных результатов законченных работ, полученные в 2007 году в ХО ИПМ ДВО РАН.

Доказаны неулучшаемые по порядку оценки погрешности оптимальных квадратурных формул на классах периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в норме $\ell_p$. При этом открыто явление фазового перехода: свойство оптимальности формулы прямоугольников, выполняющееся при $2\le p<\infty$, нарушается при $1<p<2$. (Быковский В.А., Романов М.А. // ДАН, 2007, т. 416, № 6. С. 727-731).

Разработан новый метод, основанный на оценках сумм Клостермана, для изучения поведения в среднем количества знаменателей цепной дроби действительного числа, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах, уточняющие полученные ранее теоретико-вероятностными методами. (Устинов А. В. // Математический сборник. 198, № 6 (2007), 139-158).

2. Основные результаты законченных работ (или крупных этапов работ), полученные в 2007 году в ИПМ ДВО РАН.

Доказаны неулучшаемые по порядку оценки погрешности оптимальных квадратурных формул на классах периодических функций с ограничением на коэффициенты Фурье в норме $elll_p$. При этом открыто явление фазового перехода: свойство оптимальности формулы прямоугольников, выполняющееся при $2\le p<\infty$, нарушается при $1<p<2$. (Быковский В.А., Романов М.А. // ДАН, 2007, т. 416, № 6. С. 727-731).

Разработан новый метод, основанный на оценках сумм Клостермана, для изучения поведения в среднем количества знаменателей цепной дроби действительного числа, не превосходящих данной границы. Для первого и второго момента доказаны принципиально новые оценки остаточных членов в асимптотических формулах, уточняющие полученные ранее теоретико-вероятностными методами. (Устинов А. В. // Математический сборник. 198, № 6 (2007), 139-158).

Получена новая асимптотическая формула для среднего числа шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А.В. О среднем числе шагов в алгоритме Евклида.- Материалы IX краевого конкурса молодых ученых, Хабаровск, ТОГУ (2007), 149-157)

Доказаны новые асимптотические формулы для первого и второго моментов случайной величины, равной числу шагов в алгоритме Евклида. (Устинов А. В. Асимптотическое поведение первого и второго моментов для числа шагов в алгоритме Евклида.-Изв. РАН (в печати)).

Рассмотрена переопределенная краевая задача для эллиптического уравнения 2-го порядка в ограниченной области, в которой на части границе задается условие Неймана и конечное число нелокальных условий. Доказано, что в линейном случае задача имеет хотя бы одно устойчивое решение. В нелинейном случае доказана локальная разрешимость. (Илларионов А.А. Нелокальная краевая задача с переопределением для эллиптического уравнения // Сиб. журн. индустр. матем. 2007. Т. 10, № 2. С. 64-69).

Исследован вопрос о возможности обобщения леммы Хопфа, которая используется при доказательстве разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости на случай ненулевых потоков. К вопросу о разрешимости краевых задач для стационарных уравнений Навье-Стокса с ненулевыми потоками.
(Илларионов А.А. Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. ак. Е.В. Золотова. - Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 68, 69.
Илларионов А.А. Некоторые замечания о лемме Хопфа // Вестник ТоГУ. 2007 (в печати).)

Доказана правильная, с точностью до константы, зависящей от размерности, оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток произвольного ранга.
(Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток. XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 16, 17.
Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток // Чебышевский сб. 2007. Т. 7. Вып. 4.
Илларионов А.А. Оценка количества относительных минимумов неполных целочисленных решеток произвольного ранга // ДАН. 2007. Т. 418, № 2)

Исследованы T-мотивы Андерсона - функциональных аналогов абелевых многообразий. Для них определено понятие двойственности (аналог соответствующего понятия для абелевых многообразий), доказан ряд теорем и сформулированы гипотезы. (Логачев Д.Ю. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0711/0711.1928v1.pdf).

Для задачи Стокса с разрывным коэффициентом вязкости определена новая обобщённая постановка, учитывающая условия согласования решения на линии раздела жидкостей (условия слабой непрерывности). В качестве дискретизации задачи построен неконформный метод конечных элементов (МКЭ), получены оценки скорости сходимости приближённого решения к точному в нормах специальных пространств
(Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. Неконформный метод конечных элементов для задачи Стокса с разрывным коэффициентом // Сибирский журнал индустриальной математики. - Т. 10, № 4(32). - 2007. C. 104-117.
Рукавишников А.В. Об оценке точности в норме пространства $L_2( )$ // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: труды Пятой Международной научной конференции творческой молодежи, 17-19 апреля 2007 г. В 6 т. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, Т. 4. - 2007.- С. 105-109).

С помощью неконформного МКЭ выполнена дискретизация задачи течения двухфазной несжимаемой, не перемешивающейся жидкости с непрерывно изменяющимся во времени криволинейным интерфейсом. Построена модификация итерационного алгоритма Удзавы с блочным переобуславливанием матрицы системы, полученной в результате дискретизации исходной системы
(Рукавишников А.В. Построение численного метода решения задачи течения двухфазной жидкости// Инновационные технологии - транспорту и промышленности: труды 45-й Международной научно-практической конференции ученых транспортных вузов, инженерных работников и представителей академической науки, 7-9 ноября 2007 г.; под ред. Ю.А. Давыдова. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2007. С. 53-58.
Рукавишников А.В. Построение неконформного метода конечных элементов решения задачи течения двухфазной жидкости с криволинейным интерфейсом // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Дальнаука, 2007. - C. 93-94).

Улучшена верхняя оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток фиксированного определителя. (Авдеева М.О. Верхняя оценка количества относительных минимумов целочисленных решеток. // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.6-7).

Получена асимптотическая формула (аналог оценки Хейльбронна) для среднего значения непрерывных дробей специального вида
(Горкуша О.А. О среднем значении длин конечных непрерывных дробей специального вида. XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.13.
Gorkusha O. Analogue of Heilbronn's theorem for the Minkowskii's finite continued fractions. 25th Journees Arithm'etiques July 2-6, 2007.)

Для несимметричных гладких ядер Карлемана мерсеровского типа в неограниченной области установлено двупараметрическое семейство дифференциальных неравенств, означающих диагональное преобладание симметричных смешанных производных. В качестве приложения получены оптимальные оценки для норм Соболева собственных функций интегральных уравнений с такими ядрами ( Novitskii I.M., Integral representations of unbounded operators by infinitely smooth bi-Carleman kernels. Journal for Analysis and its Applications. 2008 (в печати))

Получены явная формула числа классов примитивных гиперболических элементов с данным следом для конгруэнц-подгрупп модулярной группы и, как следствие, двусторонняя оценка числа классов. (Головчанский В.В., Смотров М.Н. Явная формула числа классов примитивных гиперболических элементов группы Г0(N). // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2007. С.12-13).